[최단거리] - 플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우 사용한다.

- 노드의 개수가 N개 일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다. 따라서 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

- 2치원리스트에 '최단거리' 정보를 저장한다

- 노드의 개수가 N개일 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신(다이나믹 프로그래밍)

- 현재 확인중인 노드를 제외하고 N-1개의 노드중에서 서로 다른 노드 (A,B)쌍을 선택한다.

이후 A->1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다. 점화식은 아래와 같다.

따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 위 점화식에 따라 최단거리 테이블을 갱신하면 된다.

 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다.

즉, '바로 이동거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리' 보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다.

위와 같은 그래프가 있을때 아래 처럼 초기 테이블을 설정할 수 있다.

 

STEP 0 '연결된 간선'은 단순히 그 값을 채워넣고, 연결되지 않은 간선은 '무한'이라는 값을 넣고 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화한다.(Dab는 'a에서 b로 가는 최단거리'이다)

STEP 1 노드 1을 거쳐가는 경우를 고려한다.

이때는 6P2인 6가지의 경우에 대해 고려해야한다. (아래 하늘색으로 칠해진 곳)

 

 

 ---------------------위 와 같은  방법으로 모든 노드(1,2,3,4즉,4개)를 반복 ------------------

 

최종결과 

 

 

플로이드 워샬 알고리즘 

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()