[최단거리]- 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘

방법 2  힙을 사용하여 구현은 어렵지만 빠르게 동작하는 코드

이번 방법은 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장할 수 있다.(V는 노드의 개수,E는 간선의 개수)

 

방법 1 에서는 매번 최단거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다.

이 과정에서 O(V)의 시간이 걸렸다.

하지만 최단거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는것이 아니라 더욱 빠르게 찾을수 있다면 시간 복잡도를 더 줄일 수 있다.

이 과정에서 힙 자료구조를 사용하게 된다.

힙을 사용하면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 답아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

 

 

 

힙 자료 구조

힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나이다.

우선 순위 큐는 우선 순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다.

 

EX) 여러개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우를 가정해보자.

(파이썬에서는 heapq를 주로 사용한다.)

 

우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다.

예를 들어 물건 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정해보자.

그러면 모든 물건 데이터를 (가치,물건)으로 묶어서 우선 순위 큐 자료구조에 넣을 수 있다.

이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다.

대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다.

따라서 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 '가치'값이 우선 순위가 값이 되는것이다.

 

      

아래는 우선 순위큐가 어떻게 변하는지를 중심으로 설명한 다익스트라 알고리즘이다.

우선 순위 큐 그림에서는 각 원소를 거리가 짧은 순서대로 왼쪽부터 나열한다.

(현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선 순위 큐를 추가로 이용)

 

 

STEP 0  1번 노드가 출발 노드이며 출발노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다.

이후 우선 순위 큐에 1번 노드를 넣는다. 이때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리 이기 때문에 0이다.

즉, (거리 : 0, 노드:1) 의정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.(튜플 (0,1)을 우선순위 큐에 넣는다.)

 

파이썬의 heapq에서는 원소로 튜플을 입력 받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.

따라서 (거리, 노드) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선 순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.

 

STEP 1 우선 순위큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그저 노드를  꺼내면된다.

기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선 순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있다.

따라서 우선 순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.

 

따라서 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0,1)이 나온다.

이는 1번 노드까지 가는 최단거리가 0이라는 의미이므로, 1번 노드를 거쳐서 2,3,4 노드로 가는 최소 비용을 계산한다.

차례대로 2(0+2),5(0+5),1(0+1)이다.

현재 2,3,4번 노드로 가는 비용이 '무힌'으로 설정되어 있는데, 더 짧은 경로를 찾았으니 갱신하면 된다.

이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드정보들은 다시 우선 순위 큐에 넣는다. ==> 방문 리스트 사용 X

(현재 처리중인 노드와 간선은 하늘, 이전단계에 이미 처리한 노드는 회색, 간선은 점선으로 표시)

 

 

STEP 2 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복한다.

이번엔 (1,4)의 값을 갖는 원소가 추출된다.

아직 노드 4를 방문하지 않았으며 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이다.

따라서 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인한다.

이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3)과 2(1+1)이다.

이는 기존의 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 다음과 같이 리스트가 갱신되고, 우선순위큐에는 (4,3),(2,5)라는 두원소가 추가로 들어가게 된다. 앞서 말했듯이 현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 기록하고 있다.

 

 

STEP 3 이번에는 노드 2에 대해 처리한다.

2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 같지만 2번 노드가 꺼내졌다고 가정하자.

마찬가지로 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 더 거리가 짧은 경우가 있는지 확인하다.

이번 단계에서는 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재으 최단거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.

따라서 우선 순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않는다.

 

 

 

STEP 4 이번에는 노드 5번에 대해서 처리한다.

5번 노드를 거쳐서 3번과 6번 노드로 갈 수 있다.

현재 5번 노드까지 가는 최단거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작다.

따라서 새로운 값인 3으로 갱신한다.

또한 6번 노드로 가는 최단거리 역시 마찬가지로 갱신된다.

그래서 이번엔 (3,3)과 (4,6)이 우선 순위 큐에 들어간다.

 

 

STEP 5 마찬가지로 원소(3,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않으며 결과는 다음과 같다.

 

 

STEP 6 이어서 원소 (4,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.

다만, 3번 노드는 앞서 처리된 적이 있다. 

현재 우선 순위 큐에서 꺼낸 원소에는 3번 노드까지 가는 최단거리가 4라는 정보가 들어있다. 

하지만 현재 초단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 3이다.

따라서 현재 노드인 3번에 대해서는 이미 처리된것으로 볼 수 있으므로 현재 우선 순위 큐에서 꺼낸 (4,3)이라는 원소는 무시하면 된다.

 

 

 

STEP 7 마찬가지로 원소(4,6)이 꺼내지고 6번 노드에 대해서 처리하면 아래와 같다.

 

 

STEP 8 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 아까와 마찬가지로 이미 처리된 노드 이므로 무시한다.

 

위와 같은 모든 단계를 거친 후에에 최단거리테이블에 남아있는 0,2,3,1,2,4가  1번 노드로 부터 각 노드로의 최단 거리이다.

 

아래 코드는 개선된 코드이며 이전 코드와 비교 했을 때 get_smallest_node() 라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.

'최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

# 입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3 
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4

 

 

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

이전 코드와 비교하면 O(ElogV)로 훨씬 빠르다.

하지만 직관적으로 우선순위큐를 이용하는 방식이 더 빠르다는것에 대해 이해가 되지 않는다.

 

위 코드에서 확인할 수 있듯이 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다. 

==> 방문 체크 리스트 사용이 없다 !

즉, 큐에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다.

또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다.

따라서 '현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인' 하는 총 횟수는 총 최대 간선의개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

 

전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선 순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.

힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에 모두 빼는 과정은 O(N log N)이다.

즉, 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(E log E)임을 이해할 수 있다.

이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다.

왜냐하면, 모든 노드끼리 서로 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V^2으로 볼 수 있고 E는 항상 V^2 이하이기 때문이다.

다시 말해 logE는 logV보다 작다. 이때 O(logV^2)은 O(2 logV)이고, 이는 O(logV)이다.

따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(E logV)라고 볼 수 있다.

 

파이썬에서는  '항상 가장 작은 값이 먼저 나온다'라는 특징을 지키면서, 단일 데이터의 삽입과 삭제 연산을 O(log N)에 수행하는 heapq 라이브러리를 이용하면 된다.

또한 기본적으로 튜플의 첫 번째 원소인 '거리 정보'를 기준으로해서 우선 순위 큐를 구성하므로 거리가 짧은 원소가 항상 먼저 나온다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선 순위 큐를 이용한다는 점에서 우선 순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있다.그래서 최단 경로를 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스 코드 형태라고 이해할 수 있다.

예를 들어 그래프 문제로 유명한 최소 신장 트리 문제를 풀 때에도 일부 알고리즘(Prim 알고리즘)의 구현이 다익스트라 알고리즘의 구현과 흡사하다는 특징이 있다.

따라서 다익스트라 알고리즘을 바르게 이해할 수 있는 다면, 다른 고급 알고리즘에 대한 이해에 도움이 된다.