[최단경로] - 간단한 다익스트라 알고리즘 구현

다익스트라 알고리즘의 동작원리 

기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류가 된다.

'매번 가장 비용이 적은 노드를 선택'해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

알고리즘의 원리는 아래와 같다.

 

1. 출발 노드를 설정한다.

2. 최단 거리 테이블을 초기화 한다.

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.

4. 3에서 선택한 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

5. 위 3,4번을 반복한다.

 

 '각 노드에 대한 현재까지의 최단거리' 정보를 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네?

이제는 이 경로가 더 짧은 경로야 ' 라고 판단 하는것이다.

 

따라서 '방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인'해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다.

 

 

 

구현 방법에는 크게 2가지로 나뉘어 진다.

 

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

2. 힙을 사용하여 구현은 어렵지만 빠르게 동작하는 코드

코딩테스트를 준비하는 입장에서는 2번 구현 방식을 정확히 이해하여 코드로 구현하는 것에 숙달되어 있어야 한다.

 

 

다익스트라 알고리즘의 동작원리 [그림]

위와 같은 1번 노드에서 다른 노드로 가는 최단 경로를 구해보자.

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단거리를 '무한'으로 초기화 한다.

 

STEP 0  방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.

step 0

STEP 1 이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 한다.

즉 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다.

현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2,3,4번 노드로 가는 최소 비용은 차례로 2(0+2),5(0+5),1(0+1)이다.

현재 2,3,4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정이 되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. (현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표현)

STEP 2  이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다.

따라서  4번 노드가 선택된다. 

이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다.  4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다.

이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5 번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3),2(1+1)이다.

이 두값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

 

 

STEP 3  이번에는 2번 노드가 선택이 된다.

(2번과 5번 노드의 최단거리가 2로 같은 경우 , 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다.)

그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경로가 있는지 확인한다.

이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.

 

EX) 2번노드를 거쳐 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2+3)만큼의 비용이 발생한다.

하지만 이미 현재 최단거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단거리는 4이므로 값이 갱신되지 않는다.

STEP 4  이번에는 5번 노드가 선택된다. 

5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈수 있다.

현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존값보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 

또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.

 

 

 

 

STEP 5 이어서 3번 노드에  대해 반복한다.

 

STEP 6 이어서 3번 노드에  대해 반복한다.

 

최단 경로 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로 부터 출발 했을 떄 2,3,4,5,6번 노드까지가기 위한 최단 경로가 각각 2,3,1,2,4라는 의미이다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택' 하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 확정된 완전히 선택된 노드이므로, 더이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄지 않는다.

 

그렇기 때문에 사실 마지막 노드에대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

예를 들어 위 예시에서 STEP 6 을 수행할 떄는 이미 나머지 5개 노드에 대한 최단 거리가 확정된 상태이므로 더 이상 테이블이 갱신 될 수 없기 때문이다. 

 

 

방법 1 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

간단한 다익스트라 코드의 시간 복잡도는 O(V^2)이다. (V는 노드 갯수를 의미)

왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인해야 하기 때문이다.

 

따라서 코딩테스트에서 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하일시 사용할 수 있다.

하지만 노드의 갯수가 10000개를 넘어가는 문제라면 방법 1의 코드로는 문제를 해결 하기 어렵다.

노드의 갯수가 많을 때는 이후 설명할 방법 2로 구현해야 한다.

 

아래 코드는 모든 리스트는 노드 갯수 +1의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 접근할 수 있다.

그래프를 표현해야 할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법이니 기억하자.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

# 입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3 
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

# 출력 예시
0
2
3
1
2
4