[그래프] - 위상정렬

위상정렬

순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용하는 알고리즘

(방향 그래패의 모든 노드를 방향성에 거스트리 않도록 순서대로 나열하는것)

EX) 선수 과목을 고려한 학습 순서

진입차수 : 한 노드로 들어오는 간선의 개수

( 고급 알고리즘의 진입차수는 2이다)

 

위상 정렬 알고리즘은 아래와 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다

2. 큐가 빌 때 까지 다음의 과정을 반복한다

      1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거

      2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다

 

이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단 한다.

(보통 위상정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시한다.)

 

위 그래프로 위상 정렬을 순서대로 이해해 보자.

 

 

STEP 0 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

현재 노드 1의 진입 차수만 0이기 때문에 큐에 노드 1만 삽입한다.

(큐에 삽인된 노도는 하늘색)

 

 

STEP 1 먼저 큐에 들어있는 노드 1을 꺼낸다.

이제 노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

그러면 새롭게 노드 2와 5의 진입차수가 0이된다. 

그리고 0이된 노드 2와5를 큐에 삽입한다.

(처리된 노드와 간선은 점선으로 표기)

 

 

 

 

STEP 2 그 다음 큐에 있는 노드 2를 꺼낸다.

이제 노드 2와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

그러면 새롭게 노드 3의 진입차수가 0이되고 노드 3을 큐에 삽입한다.

 

 

 

 

STEP 3 그 다음 큐에 있는 노드 5를 꺼낸다.

이제 노드 5와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.,

그러면 새로운 노드 6의 진입차수가 0이 되고 노드 6을 큐에 삽입한다.

 

 

STEP 4 그 다음 큐에 있는 노드 3을 꺼낸다.

이제 노드 3과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.

이번에는 새롭게 진입 차수가 0이 되는 노드가 없으므로 넘어 간다.

 

 

-----------위와 같은 과정을 반복------------

 

위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력 하면, 그것이 위상정렬이다.

(단, 위상정렬의 답안은 여러가지가 나올수 있다)

 

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

 

 

시간 복잡도

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.

위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야한다.

결과적으로 노드와 간선을 모두 확인하기 때문에 O(V+E)의 시간이 소요된다.